bq5_org 宋体改变命运实验中学 绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法
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绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法

发布时间:2015/5/28 7:36:54|浏览次数:

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绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法

 

. 教学目的

1、掌握绝对值的三角不等式;

2、掌握不等式证明的基本方法

 

. 知识分析

[绝对值的三角不等式]

       定理ab为实数,则绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,当且仅当ab0时,等号成立。

       几何说明:(1)当ab>0时,它们落在原点的同一边,此时a与-b的距离等于它们到原点距离之和。

2)如果ab<0,则ab分别落在原点两边,a与-b的距离严格小于ab到原点距离之和(下图为ab<0a>0b<0的情况,ab<0的其他情况可作类似解释)。

|ab|表示ab与原点的距离,也表示ab之间的距离。

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定理abc为实数,则绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,等号成立绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,即b落在ac之间。

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[不等式证明的基本方法]

  1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是一种常用的方法,基本不等式就是用比较法证得的。

比较法有差值、比值两种形式,但比值法必须考虑正负。

    比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述。

    如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则可考虑用到判别式法证。

2、所谓综合法,就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证明的结论,可简称为“由因导果”,在使用综合法证明不等式时,要注意基本不等式的应用。

    所谓分析法,就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的不等式,或者是显然成立的不等式,可简称“执果索因”,在使用分析法证明不等式时,习惯上用“绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运”表述。

    综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,其中分析法既可以寻找解题思路,如果表述清楚,也是一个完整的证明过程.注意综合法与分析法的联合运用。

3、反证法:从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。

4、放缩法:欲证AB,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,再利用传递性,达到证明的目的.这种方法叫做放缩法。

 

【典型例题】

  1、已知函数绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,设abR,且ab,求证:绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

       思路:本题证法较多,下面用分析法和放缩法给出两个证明:

       证明:

       证法一:绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

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       绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运          

ab≤-1时,式①显然成立;

ab>1时,式①绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运  

ab,∴式②成立。故原不等式成立。

证法二:a=b时,原不等式显然成立;

a≠-b时,绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

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∴原不等式成立。

点评:此题还可以用三角代换法,复数代换法、数形结合等证明,留给读者去思考。

 

  2、设m等于|a||b|1中最大的一个,当|x|>m时,求证:绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

       思路:本题的关键是对题设条件的理解和运用,|a||b|1这三个数中哪一个最大?如果两两比较大小,将十分复杂,但我们可以得到一个重要的信息:m|a|m|b|m1

       证明:绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

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       故原不等式成立。

       点评:将题设条件中的文字语言“m等于|a||b|1中最大的一个”转化为符号的语言“m|a|m|b|m1”是证明本题的关键。

 

  3、函数绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的定义域为[01]且绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运。当绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运∈[01],绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运时都有绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,求证:绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

       证明:不妨设绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,以下分两种情形讨论。

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       *绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,若绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

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       综上所述绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

       点评:对于绝对值符号内的式子,采用加减某个式子后,重新组合,运用绝对值不等式的性质变形,是证明绝对值不等式的典型方法。

 

  4、已知a>0b>0,求证:绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

       思路:如果用差值比较法,下一步将是变形,显然需要通分,是统一通分,还是局部通分?从题目结构特点看,应采取局部通分的方法。

       证明:绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

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       绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运          

绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运          

∴原不等式成立。

点评:在上面得到①式后,其分子的符号可由题设条件作出判断,但它没有②明显,所以,变形越彻底,越有利于最后的判断,本题还可以用比值比较法证明,留给读者去完成。

 

  5、设x>0y>0,且xy,求证:

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       思路:注意到xy的对称性,可能会想到重要不等式,但后续思路不好展开,故我们可采用分析法,从消去分数指数幂入手。

       证明:x>0y>0,且xy

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       点评:在不便运用比较法或综合法时,应考虑用分析法。应注意分析法表述方法,其中寻求充分条件的语句常用符号“绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运”表述。本题应用了分析法,既找到了解题思路,又使问题完满地得到了解决,可谓一举两得。

 

  6、已知abcR+,求证:绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

       思路:因不等式的左边的两个因式都可以进行因式分解。结合abcR+的条件,运用重要不等式,采用综合法进行证明。

       解析:绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

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       点评:用重要不等式证明不等式,一要注意重要不等式适用的条件,二要为运用重要不等式创造条件。另外,同向不等式相加或相乘,在综合法中常用到。

 

  7、证明:对于任意实数xy,有绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

       思路:采取分析法和比较法二者并用的方法来处理。

       证明:用分析法

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不等式②显然成立,下面证明不等式①

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绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运同号

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点评:上述证明中,前半部分用的是分析法,后半部分用的是比较法,两种方法结合使用,使问题较容易解决,这一点应加以注意。

 

  8、(1)用反证法证明以下不等式:已知绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,求证p+q2

2)试证:绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运n2)。

思路:运用放缩法进行证明。

证明:1)设p+q>2,则p>2q

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绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运这与绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运=2矛盾,

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2绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运。将上述各式两边分别相加得

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点评:用放缩法证明不等式过程中,往往采用添项或减项的“添舍”放缩,拆项对比的分项放缩,函数的单调性放缩,重要不等式放缩等。放缩时要注意适度,否则不能同向传递。

 

【模拟试题】

  1、设ab是满足ab<0的实数,那么(   

       A绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运                   B绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

C绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运                     D绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

  2、设ab>0,下面四个不等式①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|ab|;④|a+b|>|a||b|中,正确的是(   

       A、①和②            B、①和③            C、①和④            D、②和④

  3、下面四个式子①绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运;②绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运;③绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运;④绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运中,成立的有(   

       A1         B2          C3         D4

  4、若abcR,且绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,则下列不等式成立的是(   

       A绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运                 B绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

C绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运                D绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

  5、设abcR,且abc不全相等,则不等式绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运成立的一个充要条件是(   

       Aabc全为正数                 Babc全为非负实数

C绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运                       D绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

  6、已知a<0,-1<b<0则(   

       A绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运                       B绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

C绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运                       D绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

  7、设实数xy满足绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,若对满足条件的xyx+y+c0恒成立,c的取值范围是(   

       A绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运                       B绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

C绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运                      D绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

  8、对于任意的实数x,不等式绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运恒成立,则实数a的取值范围是_________

  9、若a>c>b>0,则绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的值的符号为__________

  10、设abcR+,若绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,则绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运__________

  11、已知xyR,且绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,则z的取值范围是__________

  12、设绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

       求证:绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

  13、已知ab是不等正数,且绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

       求证:绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

  14、已知绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,求证:绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运中至少有一个不小于绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

  15、设ab为正数,求证:不等式绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运      

成立的充要条件是:对于任意实数x>1,有绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运         

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【试题答案】

  1B          2C       3C       4B       5C       6D      7A

  8、(-∞,3

  9、负

  109

  11绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

  12、证明:

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  13、证明:ab是不等正数,且

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       绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运一定成立,故绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运成立。

  14、证明:用反证法。假设绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运都小于绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,则绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

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       绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,相互矛盾,

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  15、证明:设绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运,那么不等式②对绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运恒成立的充要条件是函数绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的最小值大于b

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       当且仅当绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运时,上式等号成立。

       绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运的最小值是绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

       因此,不等式②对x>1恒成立的充要条件是绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运>b绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 - 知识改变命运 - 武城实验中学---知识改变命运

 

 


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